27 de octubre de 2011



Trabajo de investigación sobre la lógica modal.

Publicado por: Esteban Higueras Galán / @HGEsteban
Guillermo Badia envia este, su primer escrito en Microfilosofia, aportando una visión muy analítica y lógica: se enmarca en un trabajo serio y de caracter universitario Sobre Charles Sanders Peirce (19/04/1914) nacido en Pennsylvania: filósofo, lógico y científico estadounidense. Es considerado el fundador del pragmatismo y el padre de la semiótica moderna.
¿Hasta dónde anticipó Peirce la Lógica Modal? - Guillermo Badia.


Resumen

El objetivo del presente artículo consiste en un breve recuento sobre algunas ideas de Charles Sanders Peirce, de interés para la historia de la Lógica Modal moderna. Se expone a grandes rasgos la posición de Peirce dentro del problema que de cierto modo da inicio a la teoría de las modalidades contemporánea con C.I. Lewis. En este sentido se discute de modo breve el problema de los tipos de implicación y se muestra el contexto donde surge la importancia del concepto de necesidad lógica. Se revisan algunas concepciones básicas de la teoría lógica de Peirce como la idea de que los juicios condicionales y los categóricos son en realidad del mismo tipo, y por tanto ameritan la misma especie de cuantificación. Se dan los conceptos generales de posibilidad y necesidad que defendió Peirce en alguna etapa de su vida, en cualquier caso se tratan los que están directamente vinculados a la comprensión más o menos generalizada hoy en día del tema. Tratamos de dar una idea detallada del método que ideó Peirce de cuantificación de los condicionales sobre posibles estados de cosas. En este punto se intenta buscar lugares de contacto entre la teoría de Peirce y la de otros filósofos como Kripke, Wittgenstein y Carnap.

Palabras clave: C.S. Peirce, Lógica Modal, semántica de mundos posibles, proposición condicional, posible estado de cosas.

La teoría de las modalidades es básicamente una parte de la lógica que estudia los llamados modos de verdad o falsedad de una proposición, i.e., si una proposición es necesariamente verdadera o posiblemente falsa, o es conocido que sea verdadera, o es obligatorio que sea verdadera, etc. Existen diferentes variedades de las lógicas modales: la temporal, la modal clásica, la deóntica, la doxástica, la epistémica. La lógica modal clásica trabaja con las llamadas modalidades aléticas, i.e., la necesidad, la posibilidad y la contingencia. Lo que expondremos aquí serán los desarrollos bastantes modestos de una investigación sobre algunas ideas del lógico norteamericano Charles Sanders Peirce (1839-1914), claramente vinculadas a la forma moderna de comprender la teoría de las modalidades. 

El estímulo para el surgimiento de la lógica modal moderna reside en los trabajos de C.I. Lewis y el desarrollo de su sistema de la llamada implicación estricta, opuesta a los sistemas fundados en la implicación material como el de Principia Mathematica. El problema que Lewis intenta subsanar es el de las llamadas paradojas de la implicación material. En los sistemas formales clásicos como el de Russell una proposición del tipo “si A, entonces B” es verdadera si y solo si el antecedente es falso o el consecuente verdadero, siguiendo la construcción de su matriz veritativa. Esto desemboca en dificultades como las advertidas por Lewis, i.e., que las proposiciones del tipo “si la luna está hecha de queso, entonces la tierra gira alrededor del sol” serán siempre verdaderas en estos sistemas. Lewis propone, contrario a “A implica materialmente a B”, que “A implica necesariamente a B”, i.e, la implicación estricta como fundamento de su sistema, evadiendo así las famosas paradojas. Lewis considera que el uso que normalmente hacemos de la implicación formal en el lenguaje no coincide, como es natural, con el de la implicación material.

Este problema que Lewis pretende resolver había sido advertido ya por Peirce cuando trabaja el tema de la copula (el ergo de los argumentos). Puede comprobarse en el propio Lewis (1918: 84-85) que Peirce es una de las influencias no despreciables de su trabajo intentando superar las limitaciones de la implicación tradicional. Cuando Peirce construye su versión del álgebra de George Boole se detiene sobre el problema del tipo de implicación que sea justo introducir en el sistema. Según su concepción, todas las proposiciones son condicionales aunque la relación ilativa del juicio aparezca oculta (CP 3.440). Esto es lo mismo que decir que todo enunciado es de la forma de un condicional como los de la implicación antes mencionada, incluso si no nos percatamos a simple vista de ello.

De la escuela de los Sofistas heredamos dos modos de comprender la implicación. El primero, pertenece a Filón de Megara, según el cual, “una condicional es verdadera si y sólo si no tiene un antecedente verdadero y un consecuente falso” (I. M. Bochenski, 1951: 135), y el segundo, a Diódoro Crono, para quien una condicional verdadera es “una que no es y nunca es capaz de tener un antecedente verdadero y un consecuente falso” (Ídem). Peirce prefiere utilizar en su sistema la implicación material, en la versión de Filón, aunque advierte perfectamente las paradojas que pueden surgir de este hecho:
“A pesar de que el punto de vista filónico conduce a tales inconvenientes como que es verdadero, como consecuencia de inesse, que si el Diablo fuera electo presidente de los Estados Unidos, sería de gran provecho para el bienestar espiritual del pueblo (porque él nunca saldría electo), a pesar de esto, ambos, el Profesor Schröder y yo hemos preferido construir el algebra de las relaciones sobre esta concepción de la proposición condicional.” (CP 3.442)

Sostiene que la dificultad puede superarse expresando la implicación que utilizamos normalmente en términos de una proposición compuesta de condicionales y negaciones de condicionales. Pese a todo, Peirce está al tanto de que probablemente una formulación más clara de la implicación de diodórica fuese más provechosa que la variante filónica.

Por otra parte, cuando discute (CP 3.437) el tema de la necesidad lógica, pone el ejemplo de los condicionales lógicamente necesarios. Señala que si la relación es necesaria, cualquiera que sea la distribución de objetos de un universo dado que hagamos en A o en B, siempre la hará verdadera. Peirce recomienda poner a prueba el procedimiento sustituyendo las variables por diferentes objetos (en este caso proposiciones), si no podemos hallar una combinación para la que sea falsa, entonces hablamos de necesidad lógica. Este método es semejante en algunos aspectos al de las tableaux semánticas introducidas en la lógica modal por S. A. Kripke. En principio se trata de encontrar un contra-modelo de la fórmula a probar, si la construcción se vuelve inconsistente siguiendo las reglas de evaluación, entonces el contra-modelo no existe, la fórmula es universalmente válida y por su teorema su teorema de completitud y la regla de necesidad, es necesaria.

En otro sitio (CP 3.442; 3.374) habla sobre el problema de la posibilidad y dice que, en sentido general, lo posible es lo que en un determinado estado de información no se conoce que sea falso. En la teoría modal clásica los símbolos  ◊(representando a la posibilidad) y □ (representando a la necesidad) tienen un carácter dual, como la conjunción y la disyunción, o el cuantificador universal y el cuantificador existencial, i.e., ¬□¬ y ◊ son intercambiables, así como . Como ya hemos apuntado al inicio de este trabajo, una de las variedades de la teoría de las modalidades es la lógica epistémica. En esta el símbolo □, se interpreta como “es conocido”. De manera que cuando Peirce sostiene que “no es conocido que no P”, dice que ¬□¬P, con lo cual claramente podemos utilizar la equivalencia con su dual y arribamos a que ◊P. La formulación de la posibilidad de Peirce, si bien mezcla contenidos de dos modalidades distintas, las epistémicas y las aléticas, coincide con la comprensión moderna del asunto. Incluso podríamos atrevernos a sostener que, en cierto sentido, anuncia la lógica epistémica. Hay otro punto de este pasaje que resulta interesante, cuando indica que todas las variedades de posibilidades se obtienen modificando el estado supuesto de información. En una estructura modelo de Kripke, si modificamos el modelo que evalúa todas las proposiciones de un lenguaje L cualquiera, entonces es evidente que las posibilidades accesibles cambian. Un estado de información como lo piensa Peirce, podría equivaler a un modelo en una estructura modelo de Kripke. En un lugar distinto vuelve sobre la mencionada noción de posibilidad y llama la atención sobre un hecho importante:
“un estado de cosas tiene la Modalidad de lo posible –eso es, de lo meramente posible,- solo en caso de que el estado de cosas contradictorio sea igual de posible (…) Uno que sabe que la Universidad de Harvard tiene una oficina en State Street, y tiene la impresión de que se encuentra en el No. 30, pero de todos modos sospecha que el número podría ser el 50, diría “Creo que está en el No. 30, pero podría estar en el No. 50”, por lo cual “posiblemente está en el No. 50”. (EP2: 354)

En este tipo de afirmaciones en que se trata de proposiciones que bajo el signo de modalidad afirman algo y su contradictorio se halla el origen de las lógicas trivalentes de Tarski y Lukasiewicz. Estos sistemas surgen con el objetivo principal de dar cuenta de la verdad de proposiciones como ◊A ˄ ◊¬A. N. Houser (1998: xxix) apunta el hecho de que Peirce trabajó en uno de estos sistemas buen tiempo antes de que aparecieran las investigaciones de dichos lógicos.

Una idea fundamental en la lógica de Peirce, como veremos más abajo, es que las proposiciones categóricas y los condicionales generales deben tratarse del mismo modo puesto que se trata del mismo tipo de argumento. Las implicaciones de esta propuesta son sorprendentes, puesto que anticipan una de las ideas más originales de la lógica modal moderna: la semántica basada en la cuantificación sobre mundos posibles. Peirce propone que en el caso de las proposiciones hipotéticas (i.e., lo condicionales, a los efectos de este trabajo, aunque para Peirce sean también las conjunciones y las disyunciones) el sujeto de la cuantificación, en vez de individuos, tiene que ser “una posibilidad, un posible caso, un posible estado de cosas”.
La idea de la semántica en lógica surge del criterio de que conocer el significado de una oración es lo mismo que “conocer bajo cuales circunstancias sería verdadera” (R. Carnap, 1942: 22). La semántica modal clásica diseñada por Kripke (1959: 2), propone desempolvar la idea siguiente de Leibniz para resolver el problema de la decisión (i.e., disponer de un método para determinar cuándo una fórmula es verdadera o falsa) en los sistemas modales: una proposición es necesaria si y sólo si es verdadera en todos los mundos posibles. Kripke (1963: 84) diseña un semántica en donde tenemos una estructura (G, K, R), donde G representa el mundo actual, K es el conjunto de todos los mundos posibles incluyendo a G, y R es una relación de diferentes tipos (reflexiva, simétrica, transitiva, de equivalencia, etc.) que pertenece al conjunto producto de K con K, en dependencia del sistema para el que intentemos construir la semántica. es una función binaria con dominio de definición en un lenguaje L y en K, y rango de valores en el conjunto . De modo que (A, H) = V significa que la proposición A es verdadera en un mundo H que pertenece a K. Los mundos son puntos y es un modelo que evalúa todas las proposiciones de L en todos los puntos. De este modo es obvio que definiendo la posibilidad en el sentido usual más arriba señalado, una proposición es posible si es verdadera en al menos uno de los mundos posibles.

Esta semántica ha tenido otras versiones, como la de R. Carnap (1947), elaborando una versión de la famosa noción de L. Wittgenstein (1922) de posibles estados de cosas, y hablando de posibles descripciones de estados. En la idea original de Wittgenstein (1922: 2.202) “la figura representa un posible estado de cosas en el espacio lógico”, i.e., el signo, la proposición, nos habla de la posible existencia o no de determinados hechos atómicos. El mundo se componía para Wittgenstein, en cierta forma, de la conjunción de todas las proposiciones verdaderas (cf. Wittgenstein, 1922: 1.11; 1.12). Para Carnap (1947: 9) una clase “de oraciones en que contenga para cada oración atómica ya esa oración o su negación, pero no ambas, y ninguna otra oración, es llamado una descripción de un estado”. Así pues, Carnap está en condiciones de considerar una oración como L-verdadera (i.e., lógicamente necesaria) si y sólo si es verdadera en todas las descripciones de estados. Estas variantes de semánticas para contextos modales utilizando nociones similares a la formulación original de Leibniz no fueron pocas pero, pese a todo, la versión de Kripke (1959), aunque con modificaciones que él mismo introdujo más tarde, es la más importante en la actualidad puesto que apareció acompañada de un teorema de completitud para el sistema S5.

Comoquiera, ya en CP 3.444 aparece claramente expresada la idea de cuantificación sobre posibles estados de cosas mucho antes de la aparición del Tractatus de Wittgenstein, por no hablar del trabajo de Kripke. Peirce (EP2: 378) en una línea muy similar a la de Wittgenstein, sugiere que un “estado de cosas es un constituyente abstracto de la realidad, de tal naturaleza que es necesaria una proposición para representarlo (…) Existe solo un estado de cosas completamente determinado e individual, a saber, la totalidad de la realidad”. También en CP 3.444, aclara el verdadero sentido de la implicación material, referida al estado de cosas actual, i.e., todo lo que dice “A implica materialmente a B” es que no es el caso, dado el actual estado de cosas, que A sea verdadero y B falso. Propone el simbolismo A, donde A es una proposición e es un índice representado al estado donde la proposición es verdadera, con lo que tendríamos que no es el caso que A sea verdadero y B sea falso.

La cuestión residía en utilizar un universo del discurso no compuesto por individuos sino por estados de cosas. Peirce escribe:

“El universo es el de los determinados estados de cosas que son admisibles hipotéticamente (…) De modo que decir “El podría no ser capaz voluntariamente de actuar diferente a como lo fuerzan las causas físicas, ya sea que trate o no”, es lo mismo que decir que existe un estado de cosas hipotéticamente admisible en el cual un hombre puede intentar actuar de un modo y voluntariamente actuar de otro a consecuencia de las causas físicas.” (CP 3.621)

La forma de entender la posibilidad en este fragmento, cuantificando sobre estados de cosas admisibles, es, a todas luces, la misma en que se entiende en la semántica modal actual, a grandes rasgos explicada antes, i.e., algo es posible si y sólo si es verdadero en alguno de los mundos posibles accesibles en relación al mundo actual.

En otro pasaje, Peirce utiliza el mismo método de cuantificación pero esta vez sobre individuos y no estados de cosas para mostrar que la forma de los juicios condicionales y los categóricos (aquellos que afirman pertenencia de un predicado a un sujeto y, por tanto, son el objeto de la teoría de cuantificación clásica) es la misma. Peirce lo pone del siguiente modo:

“Ahora, tomemos la proposición categórica “Todo hombre es sabio”. Aquí m significa que el objeto individual es un hombre y w que es sabio. Entonces, podemos decir que “tomando cualquier individuo del universo,, sin importar nada más, ya ese objeto ,, no es un hombre o es sabio (…) La proposición condicional y la categórica se expresan exactamente en la misma forma.” (CP 3.445)

Otras veces distingue entre lo que sería la implicación material (consequentia de inesse, como le llama Peirce siguiendo la tradición medieval) y la implicación formal del siguiente modo:

“La consequentia de inesse es, por supuesto, el caso extremo dónde la proposición condicional pierde todo su correcto significado, debido a la ausencia del rango de posibilidades. El modo correcto de entender el condicional es “En cualquier posible caso, , ya A es falso o B es verdadero”. En la consequentia de inesse el significado viene a ser, “En el estado de cosas verdadero, , ya A es falso o B es verdadero”. (CP 3.446)
Como dice en CP 3.375, si el rango de posibilidades se circunscribe al estado actual, entonces estamos frente al sentido en que se entiende la implicación material en la lógica tradicional, pero si descubrimos que alguna de estas fórmulas es necesariamente verdadera, entonces “se vuelve aplicable a cualquier estado de cosas en el rango de posibilidades lógicas”. Es decir, la idea de cuantificación sobre posibles estados de cosas aparece indisolublemente relacionada al problema de la necesidad.

Más adelante (CP 3.473) vuelve a insistir sobre el hecho de que la cuantificación en los argumentos condicionales debe ser interpretada en la misma forma que interpretamos “todo A es un B”, i.e., tendríamos que “A necesariamente implica B si y solo si de la verdad de A, en cualquier modo en que pueda aparecer, se sigue la verdad de B”. Por último, en CP 3.366 dice que una proposición hipotética general dice no solo lo que actualmente ocurre sino que se refiere a lo que de modo invariable ocurre a través de un universo de posibilidades. Peirce (CP 3.374) sostiene que la particularidad de las proposiciones hipotéticas reside en que “van más allá del actual estado de cosas y declaran lo que sucedería si las cosas fuesen diferentes a como lo son”. Aquí estamos entrando ya en el terreno de los contrafácticos, Peirce cree que una proposición hipotética de este tipo nos deja en posesión de una regla para saber que si se diesen determinadas circunstancias previstas en la susodicha regla, determinado resultado debería ser esperado.

A modo de resumen, podemos afirmar que C. S. Peirce, sin lugar a dudas, estuvo un paso más allá en la concepción moderna de la teoría de las modalidades. La importancia de Peirce en este ámbito merece ser resaltada y estudiada minuciosamente, contribuyendo así a juzgar de modo adecuado el genio polifacético del fundador del pragmatismo.

BIBLIOGRAFÍA

De acuerdo a la costumbre entre los especialistas, hemos abreviado The Collected Papers of Charles Sanders Peirce por CP y The Essential Peirce: Selected Philosophical Writings por EP.
BOCHENSKI, I. M. (1951) Lógica formal antigua, Ed. Ciencias Sociales, La Habana, 1977.
CARNAP, R. (1942) Introduction to Semantics, Harvard University Press, Cambridge.
_______________ (1947) Meaning and Necessity, The University of Chicago Press, Chicago, Illinois, 1948.
COPELAND, B. J. (2002) “The genesis of possible world semantics”, Journal of Philosophical Logic, 31, 99-137.
HOUSER, N. (1998) “Introduction”, The Essential Peirce: Selected Philosophical Writings, vol. II, Indiana University Press, Bloomington.
LEWIS, C. I. (1918) A Survey of Symbolic Logic, University of California Press, Berkeley.
KRIPKE, S. A. (1959) “A Completeness Theorem on Modal Logic”, Journal of Symbolic Logic, 24, Issue 1, 1-14.
______________ (1963) “Semantical Considerations on Modal Logic,” Acta Philosophica Fennica, 16, 83-94.
______________(1965) “Semantical Analysis of Modal Logic” en: The Theory of Models, North Holland Publ. Co., Amsterdam, 1972, 206-20.
MENZEL, C. (1991) “The true Modal Logic”, Journal of Philosophical Logic, 20, 331-74.
PEIRCE, C. S. (1933) The Collected Papers of Charles Sanders Peirce, Charles Hartshorne y Paul Weiss eds., vol. II-III, Harvard University Press, Cambridge.
______________ (1998) The Essential Peirce: Selected Philosophical Writings, vol. II, Indiana University Press, Bloomington.
WITTGENSTEIN, L. (1922) Tractatus Logico-Philosophicus, Kegan Paul, Trench, Trubner & Co., Londres

(1) Se ha eliminado el resumen (Abstract) en ingles.

Escrito de Guillermo Badia en Microfilosofia. 
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